[이코테] Chapter 9. 최단 경로 (java)

📍개념

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 특정 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 1차원 리스트로 구하는 알고리즘
• 음의 간선이 없을 때 정상 작동

기본 다익스트라 코드 O(V^2)

import java.util.*;

class Node {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기
    public static boolean[] visited = new boolean[100001];
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[100001];

    // 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
    public static int getSmallestNode() {
        int min_value = INF;
        int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (d[i] < min_value && !visited[i]) {
                min_value = d[i];
                index = i;
            }
        }
        return index;
    }

    public static void dijkstra(int start) {
        // 시작 노드에 대해서 초기화
        d[start] = 0;
        visited[start] = true;
        for (int j = 0; j < graph.get(start).size(); j++) {
            d[graph.get(start).get(j).getIndex()] = graph.get(start).get(j).getDistance();
        }
        // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
            int now = getSmallestNode();
            visited[now] = true;
            // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
            for (int j = 0; j < graph.get(now).size(); j++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(j).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(j).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(j).getIndex()] = cost;
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }

        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);
        
        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}

개선된 다익스트라 코드 O(ElogV)

import java.util.*;

class Node implements Comparable<Node> {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }

    // 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
    @Override
    public int compareTo(Node other) {
        if (this.distance < other.distance) {
            return -1;
        }
        return 1;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[100001];

    public static void dijkstra(int start) {
        PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
        // 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
        pq.offer(new Node(start, 0));
        d[start] = 0;
        while(!pq.isEmpty()) { // 큐가 비어있지 않다면
            // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
            Node node = pq.poll();
            int dist = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용 
            int now = node.getIndex(); // 현재 노드
            // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
            if (d[now] < dist) continue;
            // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
            for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
                    pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }
        
        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);
        
        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}

---

2. 플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 2차원 배열로 구하는 알고리즘
• A->B와 A->K->B를 비교하여 더 짧은 경로를 선택한다

import java.util.*;

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
    // 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
    public static int n, m;
    // 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
    public static int[][] graph = new int[501][501];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        for (int i = 0; i < 501; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], INF);
        }

        // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                if (a == b) graph[a][b] = 0;
            }
        }

        // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            graph[a][b] = c;
        }

        // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int b = 1; b <= n; b++) {
                    graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
                }
            }
        }

        // 수행된 결과를 출력
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
                if (graph[a][b] == INF) {
                    System.out.print("INFINITY ");
                }
                // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
                else {
                    System.out.print(graph[a][b] + " ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

---

📖 [예제 9-1] 미래 도시

[문제]

미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다.

방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.

미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다.

또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어

있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.

또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다.

방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다.

따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표다.

이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다. 

방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

[입력 조건]

1. 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= N, M <= 100)
2. 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
3. M + 2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= K <= 100)

[출력 조건]

1. 첫째 줄에 방문 판매원 A가 K번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다.
2. 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.

🔑 풀이

플로이드 워셜으로 풀었습니당

import java.util.*;
public class Main {

	public static int INF = (int) 1e9;

	public static void main(String[] args) {

		// N, M 입력, 2차원 배열 그래프 만들기 
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int N, M, X, K;
		N = sc.nextInt();
		M = sc.nextInt();
		int[][] graph = new int[N + 1][N + 1];

		// 무한으로 설정 
		for (int i = 1; i <= N; i++)
			Arrays.fill(graph[i], INF);

		// 자기 자신으로 가는 값 0으로 설정 
		for (int a = 1; a <= N; a++) {
			for (int b = 1; b <= N; b++) {
				if (a == b)
					graph[a][b] = 0;
			}
		}

		// 경로 설정 
		for (int i = 0; i < M; i++) {
			int a = sc.nextInt();
			int b = sc.nextInt();
			graph[a][b] = 1;
			graph[b][a] = 1;
		}

		// 플로이드 워셜 알고리즘 
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			for (int a = 1; a <= N; a++) {
				for (int b = 1; b <= N; b++) {
					graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][i] + graph[i][b]);
				}
			}
		}
		
		// 답 계산 
		X = sc.nextInt();
		K = sc.nextInt();
		if (graph[1][K] != INF && graph[K][X] != INF)
			System.out.println(graph[1][K] + graph[K][X]);
		else
			System.out.println("-1");
	}
}

---

📖 [예제 9-2] 전보

문제

• 어떤 나라에는 N개의 도시가 있다.
• 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다.
• 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다.
• 예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다.
• 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.
• 어느 날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다.
• 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.
• 각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때,
• 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이며
• 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.

입력 조건

• 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다.
  • (1 <= N <= 30,000, 1 <= M <= 200,000, 1 <= C <= N)
• 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X, Y, Z가 주어진다.
• 이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간이 Z라는 의미다.
  • (1 <= X, Y <= N, 1 <= Z <= 1,000)

출력 조건

• 첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력한다.

 

🔑 풀이

다익스트라로 풀었습니다

import java.util.*;

class Node implements Comparable<Node> {

	private int index;
	private int distance;

	public Node(int index, int distance) {
		this.index = index;
		this.distance = distance;
	}

	public int getIndex() {
		return this.index;
	}

	public int getDistance() {
		return this.distance;
	}

	// 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
	@Override
	public int compareTo(Node other) {
		if (this.distance < other.distance) {
			return -1;
		}
		return 1;
	}
}

public class Main {

	public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
	// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
	// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
	public static int n, m, start;
	// 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
	public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
	// 최단 거리 테이블 만들기
	public static int[] d = new int[100001];

	public static void dijkstra(int start) {
		PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
		// 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
		pq.offer(new Node(start, 0));
		d[start] = 0;
		while (!pq.isEmpty()) { // 큐가 비어있지 않다면
			// 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
			Node node = pq.poll();
			int dist = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용
			int now = node.getIndex(); // 현재 노드
			// 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
			if (d[now] < dist)
				continue;
			// 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
			for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
				int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
				// 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
				if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) {
					d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
					pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
				}
			}
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);

		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		start = sc.nextInt();

		// 그래프 초기화
		for (int i = 0; i <= n; i++) {
			graph.add(new ArrayList<Node>());
		}

		// 모든 간선 정보를 입력받기
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			int a = sc.nextInt();
			int b = sc.nextInt();
			int c = sc.nextInt();
			// a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
			graph.get(a).add(new Node(b, c));
		}

		// 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
		Arrays.fill(d, INF);

		// 다익스트라 알고리즘을 수행
		dijkstra(start);

		// 정답 출력
		int count = 0, time = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (d[i] != INF) {
				count++;
				if (time < d[i])
					time = d[i];
			}
		}

		System.out.println(count - 1 + " " + time);
	}
}